Solução para o caso 1:
Zeros à esquerda em números inteiros com vários dígitos não são permitidos, portanto $Umne0$ então $ÁREA>999$. Isso significa $PIvezes R^2>999$. Se $Rle3$ então $R^2le9$ então $PIvezes R^2le99vezes9<999$ que é muito baixo. Então $Rnão em{0,1,2,3}$.
Em seguida, se $R=4$ então $ÁREA$ é um múltiplo de $16$ então $Um$ é par.
Zeros à esquerda em números inteiros com vários dígitos não são permitidos, portanto $Umne0$. Mas isso significa $2000>99vezes4^2ge PIvezes R^2=ÁREA$ então $A=1$. Isso não é possível então $Rnão{4}$.
Em seguida, se $R=5$ então $ÁREA$ é um múltiplo de $25$ então $Um$ é $0$ ou $5$.
Zeros à esquerda em números inteiros com vários dígitos não são permitidos, portanto $A=5$. Mas isso significa $99vezes5^2ge PIvezes R^2=ÁREAge5000$. Isso não é possível então $Rnão{5}$.
Em seguida, se $R=6$ então $ÁREA$ é um múltiplo de $36$ então $Um$ é par.
Zeros à esquerda em números inteiros com vários dígitos não são permitidos, portanto $Umne0$. Mas isso significa $4000>99vezes4^2ge PIvezes R^2=ÁREA$ então $A<4$. Portanto, $A=2$. Então $ÁREA=26E2$. $26E2$ é um múltiplo de $9$ então $2+6+E+2$ é um múltiplo de $9$. Isso significa $E=8$ mas $2682$ não é um múltiplo de $36$. Então $Rnão{6}$.
Em seguida, se $R=8$ então $ÁREA$ é um múltiplo de $64$. O único múltiplo de $64$ que é da forma $A8EA$ é $4864$ mas então $PI=4864/64=76$ então $E=I$. Então $Rnão{8}$.
Em seguida, se $R=9$ então $ÁREA$ é um múltiplo de $81$. O único múltiplo de $81$ que é da forma $A9EA$ é $ 6966$ mas que tem dígitos duplicados ($E=A$). Então $Rnão{9}$.
Portanto, $R=7$. $ÁREA$ é um múltiplo de $49$. Os únicos múltiplos de $49$ que são da forma $A7EA$ são $ 3773$ que tem dígitos duplicados e $4704$.
Resposta remaining: $P=9,I=6,R=7,A=4,E=0$ com $96vezes7^2=4704$.
Solução para o caso 2:
Os mesmos argumentos mostram $Rnão em{0,1,2,3,4,5,6}$.
As outras respostas são:
$76vezes8^2=4864$
$77vezes7^2=3773$
$86vezes9^2=6966$