Se a memória serve, um LP tem 12 polegadas de diâmetro, enquanto um CD tem 12 centímetros de diâmetro, portanto, a proporção dos diâmetros seria de 2,54 e a proporção das áreas seria de 6,4516.
Esses números são supostamente racionais exatos, então sabemos com certeza que a proporção de áreas não é exatamente $ 2 pi $ (Como isso é irracional), mas obviamente está perto.
A abordagem “óbvia” é calcular $ 6.4516 – 4 Arctan (1) $ (usando sua série Taylor) para precisão suficiente para saber seu sinal, embora pareça trapaça, pois envolve a computação $ frac { pi} {2} $ como uma etapa intermediária.
Uma abordagem que não envolve saber $ pi $ (ou calcular alguma aproximação) é calcular $ sin (6.4516_ {radianos}) $ à mão usando a série Taylor e veja se isso produz uma resposta positiva ou negativa. Ou equivalentemente, calcule $ -COS (1.6129) $ E novamente, veja se isso é positivo ou negativo. Mas estes não parecem que estão no espírito desse desafio, pois a série de Taylor, com precisão de três dígitos, seria extremamente tediosa.
Então, vou assumir que “não usar a representação decimal de $ pi $”Significa que podemos conhecer alguma outra aproximação
como $ pi aprox frac {22} {7} $ (e saiba que essa aproximação é alto), nesse caso: $ 6.4516 – 2 × frac {22} {7} $ Ser positivo provaria que a proporção de áreas é mais do que $ 2 pi $mas ser negativo não provaria diretamente o que é menor que $ 2 pi $.
Então, eu quero calcular o sinal de $ ( frac {254} {100})^2 – frac {44} {7} = frac {16129} {2500} – frac {44} {7} $
Que é o mesmo que o sinal de $ 16129 × 7 – 44 × 2500 $
Que é +2903, então sim a proporção de áreas excede $ 2 pi $.